【題目】已知一個分段函數(shù)可利用函數(shù) 來表示,例如要表示一個分段函數(shù) ,可將函數(shù)g(x)表示為g(x)=xS(x﹣2)+(﹣x)S(2﹣x).現(xiàn)有一個函數(shù)f(x)=(﹣x2+4x﹣3)S(x﹣1)+(x2﹣1)S(1﹣x).
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤kx對任意x∈[0,+∞)都成立,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意可知

當1≤x≤4時,f(x)=﹣(x﹣2)2+1,則f(x)在[1,2]上遞增,在[2,4]上遞減;

當0≤x<1時,f(x)=x2﹣1,則f(x)在[0,1)上遞增,

而f(0)=﹣1,f(2)=1,f(4)=﹣3,所以f(x)max=f(2)=1,f(x)min=f(4)=﹣3


(2)解:由圖可知,

當直線y=kx與拋物線y=﹣x2+4x﹣3只有一個交點時,令kx=﹣x2+4x﹣3,即x2+(k﹣4)x+3=0,由△=0,得(k﹣4)2﹣12=0,得k=4±2 ,

結(jié)合圖像,可知當k≥4﹣2 時,關(guān)于x的不等式f(x)≤kx對任意x∈[0,+∞)都成立


【解析】(1)由題意可知 ,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值與最小值;(2)在同一坐標系中作出y=f(x)與y=kx的圖像,令kx=﹣x2+4x﹣3,即x2+(k﹣4)x+3=0,由△=0可求得k的值,結(jié)合圖像可求得,對任意x∈[0,+∞)都成立時,實數(shù)k的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點,需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲挡拍苷_解答此題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】證明與化簡.
(1)求證:cotα=tanα+2cot2α;
(2)請利用(1)的結(jié)論證明:cotα=tanα+2tan2α+4cot4α;
(3)請你把(2)的結(jié)論推到更一般的情形,使之成為推廣后的特例,并加以證明:
(4)化簡:tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)m,n∈N,f(x)=(1+x)m+(1+x)n
(1)當m=n=5時,若 ,求a0+a2+a4的值;
(2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9,當m,n變化時,求x2系數(shù)的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函數(shù)的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是;若此函數(shù)的值域為R,則實數(shù)m的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),并設(shè) ,
(1)若F(x)圖像在x=0處的切線方程為x﹣y=0,求b、c的值;
(2)若函數(shù)F(x)是(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減,則 ①當x≥0時,試判斷f(x)與(x+c)2的大小關(guān)系,并證明之;
②對滿足題設(shè)條件的任意b、c,不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立,求M的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f( )=0,則不等式xf(x)>0的解集是(
A.(0,
B.( ,+∞)??
C.(﹣ ,0)∪( ,+∞)
D.(﹣∞,﹣ )∪(0,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,定義在[﹣1,2]上的函數(shù)f(x)的圖象為折線段ACB,

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)請用數(shù)形結(jié)合的方法求不等式f(x)≥log2(x+1)的解集,不需要證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為, (其中為常數(shù)).

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)當時,求證: (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知設(shè)函數(shù)f(x)=loga(1+2x)﹣loga(1﹣2x)(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)求使f(x)>0的x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案