Question

已知函數(shù)h（x）=x²-1，f（x）=丨h(huán)（x）丨+x²+kx
（1）當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁、x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性，即可求出k的取值范圍．
（2）由f（x）=0得丨x²-1丨=-x²-kx，設(shè)y=丨x²-1丨，y=-x²-kx，分別作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵h(yuǎn)（x）=x²-1，
∴當(dāng)h（x）=x²-1＞0得x＞1或x＜-1，
當(dāng)h（x）=x²-1≤0得-1≤x≤1，
則f（x）=丨h(huán)（x）丨+x²+kx=丨x²-1丨+x²+kx，
當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=1-x²+x²+kx=kx+1，
當(dāng)1＜x＜2時，f（x）=x²-1+x²+kx=2x²+kx-1，
∵當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）是單調(diào)函數(shù)，
∴若函數(shù)為遞減函數(shù)，則

k＜0 - k 4 ≥2 k+1≥2+k-1

，
即

k＜0 k≤-8 1≥1

，∴k≤-8．
若函數(shù)為遞增函數(shù)，則

k＞0 - k 4 ≤1 k+1≤2+k-1

，
即

k＞0 k≥-4 1≤1

，∴k＞0，
綜上k＞0或k≤-8．
（2）∵f（x）=丨h(huán)（x）丨+x²+kx=丨x²-1丨+x²+kx，
∴f（x）=

1+kx 0≤x≤1 2x2+kx-1 x＞1

，
∵f（1）=1+k，
∴①若1+k≥0，（如圖1）

要使函數(shù)在（0，2）上有兩個不同的零點，則

1+k≥0 △=k2+8＞0 f(2)=7+2k＞0 1＜- k 2×2 ＜2

即

k＞-1 k＞- 7 2 -8＜k＜-4

．此時無解．
②若1+k≤0，如圖2．
要使函數(shù)在（0，2）上有兩個不同的零點，則

1+k＜0 △=k2+8＞0 f(2)=7+2k＞0 - k 2×2 ＜2

，
即

k＞-1 k＞- 7 2 k＞8

，
解得-

7

2

＜k＜-1．
綜上k的取值范圍是（-

7

2

，-1）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大．