設m，n是給定的整數(shù)，，是一個正2n+1邊形，．求頂點屬于P且恰有兩個內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個數(shù)．

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解析:

先證一個引理：頂點在P中的凸m邊形至多有兩個銳角，且有兩個銳角時，這兩個銳角必相鄰．

事實上，設這個凸邊形為，只考慮至少有一個銳角的情況，此時不妨設，則

，

更有．

而+，故其中至多一個為銳角，這就證明了引理．

由引理知，若凸邊形中恰有兩個內(nèi)角是銳角，則它們對應的頂點相鄰．

在凸邊形中，設頂點與為兩個相鄰頂點，且在這兩個頂點處的內(nèi)角均為銳角．設與的劣弧上包含了的條邊（），這樣的在固定時恰有對．

（1） 若凸邊形的其余個頂點全在劣弧上，而劣弧上有個中的點，此時這個頂點的取法數(shù)為．

（2） 若凸邊形的其余個頂點全在優(yōu)弧上，取，的對徑點，，由于凸邊形在頂點，處的內(nèi)角為銳角，所以，其余的個頂點全在劣弧上，而劣弧上恰有個中的點，此時這個頂點的取法數(shù)為．

所以，滿足題設的凸邊形的個數(shù)為

    ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f1（x）=x2，f2(x)=
1x
(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設an=f（n），n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中Sf的最大值記為h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a對任意給定的正整數(shù)m恒成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x2是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對任何實數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設m，n是給定的整數(shù)，，是一個正2n+1邊形，．求頂點屬于P且恰有兩個內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設m，n是給定的整數(shù)，，是一個正2n+1邊形，．求頂點屬于P且恰有兩個內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個數(shù)．

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