Question

設(shè)n是正整數(shù)，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整數(shù)k，使得對(duì)于M的任何一個(gè)k元子集，其中必有4個(gè)互不相同的元素之和等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：新定義,集合

分析：考慮M的n+2元子集P={n-1，n，n+1，…，2n}，P中任何4個(gè)不同元素之和不小于n-1+n+n+1+n+2=4n+2，
所以k≥n+3，先將M的元配對(duì)為n對(duì)，B_i=（i，2n+1-i），1≤i≤n，再將M的元配為n-1對(duì)，C_i=（i，2n-i），1≤i≤n-1，找出一對(duì)C_i4必與B_i1，B_i2，B_i3中至少一個(gè)無(wú)公共元素，即可得到k的最小值和4個(gè)互不相同的元素之和．

解答： 解：考慮M的n+2元子集P={n-1，n，n+1，…，2n}，
P中任何4個(gè)不同元素之和不小于n-1+n+n+1+n+2=4n+2，
所以k≥n+3，
將M的元配對(duì)為n對(duì)，B_i=（i，2n+1-i），1≤i≤n，
對(duì)M的任一n+3元子集A，必有三對(duì)B_i1，B_i2，B_i3，同屬于A（i1，i2，i3兩兩不同）
又將M的元配為n-1對(duì)，C_i=（i，2n-i），1≤i≤n-1，
對(duì)M的任一n+3元子集A，必有一對(duì)C_i4同屬于A，
這一對(duì)C_i4必與B_i1，B_i2，B_i3中至少一個(gè)無(wú)公共元素，
這4個(gè)元素互不相同，且和為2n+1+2n=4n+1，
故最小的正整數(shù)k=n+3．
故答案為：4n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道比較難的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，考查學(xué)生的推理能力，難度較大．