如圖,在四棱錐
P-
ABCD中,
PC⊥底面
ABCD,底面
ABCD是直角梯形,
AB⊥
AD,
AB∥
CD,
AB=2
AD=2
CD=2,
E是
PB的中點.
(1)求證:平面
EAC⊥平面
PBC;
(2)若二面角
P-
AC-
E的余弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045596466.png)
,求直線
PA與平面
EAC所成角的正弦值.
(1)見解析(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045612447.png)
(1)∵
PC⊥平面
ABCD,
AC?平面
ABCD,∴
AC⊥
PC.∵
AB=2,
AD=
CD=1,∴
AC=
BC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045612344.png)
.
∴
AC2+
BC2=
AB2.∴
AC⊥
BC.
又
BC∩
PC=
C,∴
AC⊥平面
PBC.
∵
AC?平面
EAC,
∴平面
EAC⊥平面
PBC.
(2)如圖,以點
C為原點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045627396.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045643421.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045659401.png)
分別為
x軸、
y軸、
z軸正方向,建立空間直角坐標系,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240350457375064.jpg)
則
C(0,0,0),
A(1,1,0),
B(1,-1,0),設
P(0,0,
a)(
a>0),
則
E![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045752816.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045768399.png)
=(1,1,0),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045659401.png)
=(0,0,
a),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045815421.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045752816.png)
.取
m=(1,-1,0),則
m·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045768399.png)
=
m·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045659401.png)
=0,
m為面
PAC的法向量.設
n=(
x,
y,
z)為面
EAC的法向量,則
n·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045768399.png)
=
n·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045815421.png)
=0,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045877904.png)
取
x=
a,
y=-
a,
z=-2,則
n=(
a,-
a,-2),依題意,|cos〈
m,
n〉|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045893542.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045908574.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045596466.png)
,則
a=2.于是
n=(2,-2,-2),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045939379.png)
=(1,1,-2).設直線
PA與平面
EAC所成角為
θ,則sin
θ=|cos〈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045939379.png)
,
n〉|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045971679.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045612447.png)
,即直線
PA與平面
EAC所成角的正弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035045612447.png)
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837093609.png)
中,底面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837109539.png)
為矩形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837140539.png)
為等邊三角形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837156656.png)
,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837171405.png)
為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837187403.png)
中點,平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837202484.png)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837109539.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240438372346984.png)
(1)求異面直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837249375.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837265485.png)
所成角的余弦值;
(2)求二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043837280633.png)
的大小.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐
P-ABCD的底面
ABCD是正方形,側(cè)棱
PD⊥底面
ABCD,
PD=
DC,
E是
PC的中點.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240347126569121.jpg)
(1)證明:
PA∥平面
BDE;
(2)求二面角
B-DE-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知向量
=(-1,x,3),
=(2,-4,y),且
∥,那么x+y等于( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
有以下命題:
①如果向量
,與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么
,的關(guān)系是不共線;
②O,A,B,C為空間四點,且向量
,,不構(gòu)成空間的一個基底,那么點O,A,B,C一定共面;
③已知向量
,,是空間的一個基底,則向量
+,-,,也是空間的一個基底.
其中正確的命題是( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知
ABCD-A1B1C1D1為正方體,①(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825367395.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825383484.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825399488.png)
)
2=3
2;②
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825414463.png)
·(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825399488.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825367395.png)
)=0;③向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825461435.png)
與向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825477460.png)
的夾角是60°;④正方體
ABCD-A1B1C1D1的體積為|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825492412.png)
·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825367395.png)
·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034825523408.png)
|.其中正確命題的序號是________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示,正方體
ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段
B1D1上有兩個動點
E,
F且
EF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034321947413.png)
,則下列結(jié)論中錯誤的是 ( ).
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240343219635107.jpg)
A.AC⊥BE |
B.EF∥平面ABCD |
C.三棱錐A-BEF的體積為定值 |
D.異面直線AE,BF所成的角為定值 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在邊長為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458771291.png)
的正方體
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458802767.png)
中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458818318.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458833302.png)
分別是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458864372.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458880405.png)
的中點,試用向量的方法:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240144589112134.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458927340.png)
求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458942469.png)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458974488.png)
;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458989397.png)
求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014459020425.png)
與平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014458974488.png)
所成的角的余弦值.
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