Question

已知兩圓的圓心在原點(diǎn)0，半徑分別是1和2，過(guò)點(diǎn)D任作一條射線0T，交小圓于點(diǎn)B，交大圓于點(diǎn)C，再過(guò)點(diǎn)B、c分別作y軸、x軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)P，又A坐標(biāo)為（一1，0）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)D（0，

5

3

）的直線L交軌跡E于點(diǎn)M、N，線段MN中點(diǎn)為Q，當(dāng)L⊥QA時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠TOX=α則B（cosα，sinα），C（2cosα，2sinα），設(shè)P（x，y），由題意可求出P的參數(shù)方程，然后求出P的軌跡方程．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，推出l的方程為：x=0，驗(yàn)證是否滿足AQ⊥l；當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)．設(shè)l的方程為y=kx+

5

3

，（k≠0），代入

x2

4

+y2=1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），利用斜率關(guān)系求出直線方程．

解答：解：（1）設(shè)∠TOX=α則B（cosα，sinα），C（2cosα，2sinα），
設(shè)P（x，y），由題意可知

x=2cosα y=sinα

消去α可得

x2

4

+y2=1．
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，推出l的方程為：x=0，滿足AQ⊥l；符合題意；
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)．設(shè)l的方程為y=kx+

5

3

，（k≠0），代入

x2

4

+y2=1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則x0 =

x1+x2

2

=

- 120k 9+36k2

2

=-

60k

9+36k2

，
y0=kx0+

5

3

=-

60k 2

9+36k2

+

5

3

=

15

9+36k2

，
∴

15 9+36k2

- 60k 9+36k2 +1

=-

1

k

化簡(jiǎn)得4k²-5k+1=0解得k=1或k=

1

4

，經(jīng)檢驗(yàn)k=1，△＞0滿足題意．
直線l的方程為：y=x+

5

3

，綜上所述直線l的方程為x=0或y=x+

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查軌跡方程的求法，此時(shí)方程的應(yīng)用，注意分類討論是解題的關(guān)鍵，容易疏忽．考查計(jì)算能力．