Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設AC∩BD=O，連接EO，證明PA∥OE，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面EDB．
（2）證明BC⊥平面PDC．推出BC⊥DE．證明DE⊥PC，得到DE⊥平面PBC，說明DE⊥PB．結合EF⊥PB，證明PB⊥平面DEF．

解答 證明：（1）連接AC，設AC∩BD=O，連接EO，
∵ABCD是正方形，∴O為AC的中點，
∴OE為△PAC的中位線，∴PA∥OE，

而OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥平面AC，BC?平面AC，
∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD⊥平面AC，DC?平面AC，
∴PD⊥DC，而PD=DC，
∴△PDC為等腰三角形，∴DE⊥PC
又BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB．
又EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF．

點評 本題考查直線與平面垂直于平行的判定定理以及性質定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力的應用．