Question

4．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{π}{2x}$，g（x）=xcosx-sinx，當(dāng)x∈[-3π，3π]時(shí)，方程f（x）=g（x）根的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先對兩個(gè)函數(shù)分析可知，函數(shù)f（x）與g（x）都是奇函數(shù)，且f（x）是反比例函數(shù)，g（x）在[0，π]上是減函數(shù)，在[π，2π]上是增函數(shù)，在[2π，3π]上是減函數(shù)，且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；從而作出函數(shù)的圖象，由圖象求方程的根的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx；
令g′（x）=0得x=kπ，k∈Z．
∴g（x）在[0，π]上是減函數(shù)，在[π，2π]上是增函數(shù)，在[2π，3π]上是減函數(shù)，
且g（0）=0，g（π）=-π；g（2π）=2π；g（3π）=-3π；
故作函數(shù)f（x）與g（x）在[0，3π]上的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，兩圖象在[0，3π]上共有3個(gè)交點(diǎn)；
又f（x），g（x）都是奇函數(shù)，且f（x）不經(jīng)過原點(diǎn)，
∴f（x）與g（x）在[-3π，3π]上共有6個(gè)交點(diǎn)，故f（x）=g（x）有6個(gè)零點(diǎn)．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的圖象的性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．