Question

設(shè)函數(shù)．
（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）或

解析試題分析：（1）先求導(dǎo)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ed/7/fileu2.png" style="vertical-align:middle;" />為二次函數(shù)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，即恒成立。所以此二次函數(shù)的圖像應(yīng)開(kāi)口向上，判別式小于等于0。（2）分別解得函數(shù)的單調(diào)性和極值。畫圖分析可知要使只有一個(gè)根則應(yīng)極大值小于0或極小值大于0.
試題解析：解：(1) ,      2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/d/alufl3.png" style="vertical-align:middle;" />,,  即 恒成立,           4分
所以 , 得，
即的最大值為          6分
(2) 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí), ;      8分
所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ;
當(dāng)時(shí),取極小值 ;       10分
故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根.
解得 或.     14分
考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)。