已知函數y=f（x）的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數b≠1），設數列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x1、x2和xn的表達式；
（2）求f（x）的表達式，并寫出其定義域；
（3）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點．
分析：（1）依題意f（0）=0，又由f（x1）=1，進而利用斜率公式得x1=1，再由當n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數b≠1），可得xn的遞推關系，再利用累加法求得xn的表達式．
（2）先求出f（x）的表達式，再根據b的取值情況分別求得f（x）的定義域．
（3）法1：分情況用數學歸納法證明．
法2：分情況利用當xn＜x≤xn+1時有f（x）-f（xn）=bn（x-x0）＞x-xn（n≥1），從而f（x）-x＞f（xn）-xn．進而得解．
解答：解：（1）依題意f（0）=0，又由f（x
1）=1，當0≤y≤1時，函數y=f（x）的圖象是斜率為b
0=1的線段，故由
=1得x
1=1．
又由f（x
2）=2，當1≤y≤2時，函數y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，故由
=b，即
x2-x1=得
x2=1+．
記x
0=0．由函數y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為b
n-1，故得
=bn-1．
又f（x
n）=n，f（x
n-1）=n-1；
所以
xn-xn-1=()n-1，n=1，2．
由此知數列{x
n-x
n-1}為等比數列，其首項為1，公比為
．
因b≠1，得
xn=| n |
 |
| k=1 |
(xk-xk-1)=
1+++=，
即
xn=．
（2）當0≤y≤1，從Ⅰ可知y=x，當0≤x≤1時，f（x）=x．
當n≤y≤n+1時，即當x
n≤x≤x
n+1時，由Ⅰ可知f（x）=n+b
n（x-x
n）?（x
n≤x≤x
n+1，n=1，2，3）．
為求函數f（x）的定義域，須對
xn=?(n=1，2，3，)進行討論．
當b＞1時，
xn==；
當0＜b＜1時，n→∞，x
n也趨向于無窮大．
綜上，當b＞1時，y=f（x）的定義域為
[0，)；
當0＜b＜1時，y=f（x）的定義域為[0，+∞）．
（3）證法一：首先證明當b＞1，
1＜x＜時，恒有f（x）＞x成立．
用數學歸納法證明：
（�。┯桑�2）知當n=1時，在（1，x
2]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假設n=k時在（x
k，x
k+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（x
k+1）=k+1＞x
k+1，
在（x
k+1，x
k+2]上，f（x）=k+1+b
k+1（x-x
k+1）．
所以f（x）-x=k+1+b
k+1（x-x
k+1）-x=（b
k+1-1）（x-x
k+1）+（k+1-x
k+1）＞0也成立．
由（�。┡c（ⅱ）知，對所有自然數n在（x
n，x
n+1]上都有f（x）＞x成立．
即
1＜x＜時，恒有f（x）＞x．
其次，當b＜1，仿上述證明，可知當x＞1時，恒有f（x）＜x成立．
故函數y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點．
證法二：首先證明當b＞1，
1＜x＜時，恒有f（x）＞x成立．
對任意的
x∈(1，)，存在x
n，使x
n＜x≤x
n+1，
此時有f（x）-f（x
n）=b
n（x-x
0）＞x-x
n（n≥1），
所以f（x）-x＞f（x
n）-x
n．
又
f(xn)=n＞1+++=xn，
所以f（x
n）-x
n＞0，
所以f（x）-x＞f（x
n）-x
n＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，當b＜1，仿上述證明，可知當x＞1時，恒有f（x）＜x成立．
故函數f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點．
本小題主要考查函數的基本概念、等比數列、數列極限的基礎知識，考查歸納、推理和綜合的能力．
點評：本題主要考查函數與數列以及極限的綜合知識，考查知識的歸納、推理和綜合運用的能力，能力層次要求高，要理解掌握本題的思想方法．
已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0 時，f（x）的圖象如圖所示，則不等式x[f（x）-f（-x）]≤0 的解集為
已知函數y=f（x）的圖象如圖，則滿足