Question

3．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x-1\\ 1\end{array}\right.\begin{array}{l}{（x≥1）}\\{（x＜1）}\end{array}$，則滿足不等式f（2x²）＜f（1-x）的x的取值范圍是{x|$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x＜1 或x＜-1}．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在[1，+∞）上單調遞增，f（1）=-3，f（2）=1，由此結合f（x）的圖象可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＜1}\\{{1≤2x}^{2}＜2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥1}\\{1-x＜{2x}^{2}}\end{array}\right.$，由此求得x的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x-1\\ 1\end{array}\right.\begin{array}{l}{（x≥1）}\\{（x＜1）}\end{array}$，
故當x≥1時，f′（x）=3x²-3≥0，
故f（x）在[1，+∞）上單調遞增，f（1）=-3，f（2）=1．
故函數f（x）的圖象如圖所示：
則由不等式f（2x²）＜f（1-x），
可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＜1}\\{{1≤2x}^{2}＜2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥1}\\{1-x＜{2x}^{2}}\end{array}\right.$．
求得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x＜1 或x＜-1，
故要求的x的取值范圍為{x|$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x＜1 或x＜-1}．

點評 本題主要考查分段函數的應用，函數的單調性的應用，體現(xiàn)了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．