Question

在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）若向量

m

=（3，sinB）與

n

=（2，sinC）共線，求cosA的值；
（Ⅱ）若ac=8，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專(zhuān)題：綜合題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用a，b，c依次成等差數(shù)列，可得2b=a+c，由向量

m

=（3，sinB）與

n

=（2，sinC）共線，可得2sinB=3sinC，由正弦定理可得2b=3c，所以a=2c，b=

3

2

c，利用余弦定理可求cosA的值；
（Ⅱ）先確定0＜sinB≤

3

2

，再求△ABC的面積S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c依次成等差數(shù)列，∴2b=a+c．
∵向量

m

=（3，sinB）與

n

=（2，sinC）共線，
∴2sinB=3sinC，
∴由正弦定理可得2b=3c，∴a=2c，b=

3

2

c，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

4

；
（Ⅱ）∵2b=a+c，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
∵B∈[0，π]，
∴0＜sinB≤

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB≤

1

2

×8×

3

2

=2

3

，
∴△ABC的面積S的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查正弦定理、余弦定理，考查基本不等式的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．