已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線．
（1）求切線l的方程；
（2）若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值．
【答案】分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可．
（2）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax2-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax2-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．
令h（x）=ax2-x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與的大小，研究函數(shù)的單調性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．
解答：解：（1）∵f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1）∴f（0）=1
∴f'（x）=∴f′（0）=-1
切點p（0，1），切線l的斜率為-1∴切線l的方程：y=-x+1；
（2）切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程
ax2-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax2-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．
令h（x）=ax2-x+ln（x+1），∵h（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+
①若a=，則h'（x）=≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上單調遞增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=-1＞0

∴＜h（0）=0，而
∴方程h（x）=0在
上還有一解，則h（x）=0解不唯一；
③若a＞，則h′（x）=0兩根x1=0，x2=-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在上還有一解，
則h（x）=0解不唯一
綜上，當切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，同時考查了轉化與劃歸的思想，以及計算能力，屬于中檔題，綜合題．
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f(x)，x＞0
-f(x)，x＜0

（1）如果f（1）=0且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0，求F（x）的解析式；
（2）在（1）在條件下，若g（x）=f（x）-kx在區(qū)間[-3，3]是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）已知a＞0且f（x）為偶函數(shù)，如果m+n＞0，求證：F（m）+F（n）＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，f（x）=a•ex是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)f-1(x)=ln
x
a
(x∈(0，+∞))，并且曲線y=f（x）在其與坐標軸交點處的切線和曲線y=f-1（x）在其與坐標軸交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）設函數(shù)g(x)=
x-m
f-1(x)
，當x＞0且x≠1時，不等式g(x)＞
x
恒成立，求實數(shù)m的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，f（x）=ax2-2x+1+ln（x+1），l是曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值；
（Ⅲ）證明對任意的a=n（n∈N*），函數(shù)y=f（x）總有單調遞減區(qū)間，并求出f（x）單調遞減區(qū)間的長度的取值范圍．（區(qū)間[x1，x2]的長度=x2-x1）

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