Question

一氣球以V（m/s）的速度由地面上升，10分鐘后由觀察點(diǎn)P測(cè)得氣球在P的正東方向S處，仰角為45°；再過(guò)10分鐘后，測(cè)得氣球在P的東偏北30°方向T處，其仰角為60°（如圖，其中Q、R分別為氣球在S、T處時(shí)的正投影）．求風(fēng)向和風(fēng)速（風(fēng)速用V表示）．

Answer 1

分析：依題意可知即∠SPQ=

π

4

，∠RPQ=

π

6

，∠TPR=

π

3

，進(jìn)而可知PQ=QS，RT=2QS，進(jìn)而根據(jù)PR=RT•cot

π

3

求得PR，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得QR，推斷出PR²=PQ²+QR²，可知∠PQR=

π

2

，求得答案．

解答：解：10分鐘后由觀察點(diǎn)P測(cè)得氣球在P的正東方向，仰角為45°的S點(diǎn)處，
即∠SPQ=

π

4

，所以PQ=QS=600V（m）．
又10分鐘后測(cè)得氣球在P的東偏北30°，其仰角為60°的T點(diǎn)處，
即∠RPQ=

π

6

，∠TPR=

π

3

，RT=2QS=1200V（m），
于是PR=RT•cot

π

3

=400

3

V(m)．
在△PQR中由余弦定理得：QR=

PQ2+PR2-2PQ•PRcos∠QPR

=200

3

(m)．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">PR2=(400

3

V)2=(600V)2+(200

3

V)2=PQ2+QR2，所以∠PQR=

π

2

，
即風(fēng)向?yàn)檎�南風(fēng)．
因?yàn)闅馇驈腟點(diǎn)到T點(diǎn)經(jīng)歷10分鐘，即600s，
所以風(fēng)速為

|QR|

600

=

3 V

3

（m/s）．
答：風(fēng)向?yàn)檎�南風(fēng)，風(fēng)速為

3 V

3

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找到PR，PQ和QR三邊之間的關(guān)系．