Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．若對(duì)任意x∈R，f（x）≤f（x+2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．可得當(dāng)當(dāng)0＜x≤a²時(shí)，f（x）=-2x；當(dāng)a²＜x≤3a²時(shí)，f（x）=-2a²；當(dāng)x＞3a²時(shí)，f（x）=2x-8a²．畫出其圖象．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時(shí)的圖象．由于x∈R，f（x）≤f（x+2）可得8a²≤2，解出即可．

解答： 解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．
∴當(dāng)0＜x≤a²時(shí)，f（x）=a²-x+3a²-x-4a²=-2x；
當(dāng)a²＜x≤3a²時(shí)，f（x）=x-a²+3a²-x-4a²=-2a²；
當(dāng)x＞3a²時(shí)，f（x）=x-a²+x-3a²-4a²=2x-8a²．
畫出其圖象如下：

由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時(shí)的圖象，與x＞0時(shí)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵?x∈R，f（x+2）≥f（x），
∴8a²≤2，
解得a∈[-

1

2

，

1

2

]．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-

1

2

，

1

2

]．
故答案為：[-

1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性，考查了分類討論的思想方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．