Question

已知雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過右焦點F作雙曲線在一，三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左右的交點分別為A，B
（1）求證：點P在直線x=

a2

c

上（C為半焦距）．
（2）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（3）若|AP|=3|PB|，求離心率．

Answer 1

分析：1）先設(shè)出雙曲線半焦距，求得漸近線方程，則可求得過F的垂線方程，聯(lián)立方程求得焦點p的橫坐標，推斷出在右準線上
（2）根據(jù)直線l與雙曲線左右支均有交點，判斷出該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，進而推斷出

b

a

＞

a

b

整理后即可求得a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的范圍．
（3）由題知P分AB所成比λ=3，利用定比分點的坐標公式可得，

x1+3x2

4

=

a2

c

，結(jié)合x1+x2=

2a4c

a4-b4

可求，x₁，x₂，由x₁x₂=

a2(a2c2+b4)

a4-b4

整理可得q，b的關(guān)系，進而可求離心率e

解答：解：（1）∵雙曲線在一，三象限的漸近線為y=

b

a

x，右焦點F（c，0）
∴所求的直線l：y=-

a

b

(x-c)
由y=

b

a

x及y=-

a

b

(x-c)聯(lián)立解得P的坐標P：(

a2

c

，

ab

c

)
所以點P在直線x=

a2

c

上
（2）由

y=- b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x1+x2=

2a4c

a4-b4

，x1x2=

a2(a2c2+b4)

a4-b4

＜0
∴b²＞a²即c²＞2a²
∴e＞

2

（3）由題知P分AB所成比λ=3
∴

x1+3x2

4

=

a2

c

∴x1+3x2=

4a2

c

又x1+x2=

2a4c

a4-b4

∴x1=

a2(a2+2b2)

c(a2-b2 )

，x2=

a2(a2-2b2)

c(a2-b2 )

∴

a2(a2+2b2)

c(a2-b2 )

•

a2(a2-2b2)

c(a2-b2 )

=

a2(a2c2+b4)

a4-b4

化簡得4a²=b²
∴e=

c

a

=

5

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．涉及了雙曲線方程中a，b和c的關(guān)系，漸近線問題，離心率問題等