Question

已知f（x）=

1 x -1

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由

1

x

-1≥0，即可得出；
（2）f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，利用單調(diào)遞減函數(shù)的定義即可得出；
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），再把x，y互換即可得出．

解答： 解：（1）由

1

x

-1≥0，解得0＜x≤1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1]．
（2）f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，證明如下．
設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，
則f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），
∴其反函數(shù)為f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義域、單調(diào)性、反函數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．