Question

如圖1，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，，并連結(jié)，使得平面平面，，且．連結(jié)，如圖2．

　　　　圖1                 圖2

（I）證明：平面平面；

（II）當(dāng)，，時(shí)，求直線和平面所成的角．

Answer 1

解：解法一：（Ｉ）因?yàn)槠矫?sub>平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．

（II）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

由（I）的結(jié)論可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因?yàn)槠矫?sub>平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因?yàn)?sub>，，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?sub>，所以四邊形是矩形．

由題設(shè)，，，則．所以，，

，．

因?yàn)?sub>平面，，所以平面，從而．

故，．

又，由得．

故．

即直線與平面所成的角是．

解法二：（I）因?yàn)槠矫?sub>平面，平面平面，，

平面，所以平面，從而．又，所以平面．因?yàn)?sub>平面，所以平面平面．

（II）由（I）可知，平面．故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

由題設(shè)，，，則，

，，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，

，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

由得故可取．

過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?sub>，所以，于是點(diǎn)在軸上．

因?yàn)?sub>，所以，．

設(shè)（），由，解得，

所以．

設(shè)和平面所成的角是，則

故直線與平面所成的角是．