Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB．
（1）設(shè)M是線段CD的中點(diǎn)，求證：AM∥平面BCE；
（2）求直線CB與平面ABED所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取CE中點(diǎn)N，連接MN，BN，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，我們易得四邊形ABNM為平行四邊形，則AM∥BN，再由線面平行的判定定理可得AM∥平面BCE．
（II）取AD中點(diǎn)H，連接BH，結(jié)合正三角形的性質(zhì)，及線面垂直的性質(zhì)，由已知中AB⊥平面ACD，△ACD是正三角形，我們可由線面垂直的判定定理得到CH⊥平面ABED，則∠CBH為直線 CB與平面ABED所成的角，解三角形CBH即可得到答案．

解答：證明：（I）取CE中點(diǎn)N，連接MN，BN
則MN∥DE∥AB且MN=

1

2

DE=AB
∴四邊形ABNM為平行四邊形∴AM∥BN  …（4分）
∴AM∥平面BCE …（6分）
解：（Ⅱ）取AD中點(diǎn)H，連接BH，
∵△ACD是正三角形，∴CH⊥AD   …（8分）
又∵AB⊥平面ACD∴CH⊥AB
∴CH⊥平面ABED…（10分）      
∴∠CBH為直線 CB與平面ABED所成的角…（12分）
設(shè)AB=a，則AC=AD=2a，∴BH=

2

a   BC=

5

a
cos∠CBH=

BH

BC

=

2 a

5 a

=

10

5

    …（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中（1）的關(guān)鍵是得到AM∥BN，（2）的關(guān)鍵是得到∠CBH為直線 CB與平面ABED所成的角．