Question

1．下列各式：
（1）已知log_a$\frac{2}{3}$＜1，則a＞$\frac{2}{3}$；
（2）函數(shù)y=2^x的圖象與函數(shù)y=2^-x的圖象關(guān)于y軸對稱；
（3）函數(shù)f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域是R，則m的取值范圍是0≤m＜4；
（4）函數(shù)y=ln（-x²+x）的遞增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$]
正確的有（2）（3）．（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）

Answer 1

分析 已知log_a$\frac{2}{3}$＜1，對底數(shù)a分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)，恒成立，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，已知log_a$\frac{2}{3}$＜log_aa，可得a＜$\frac{2}{3}$，可判斷（1）；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷（2）；要使函數(shù)f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域是R，可轉(zhuǎn)化成mx²+mx+1＞0在R上恒成立，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，建立關(guān)系式，解之即可求出答案，可判斷（3）；函數(shù)y=ln（-x²+x）的定義域?yàn)椋?，1），單調(diào)區(qū)間應(yīng)在定義域內(nèi)，將原函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù)y=lnz，z=-x²+x，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)即可求出，可判斷（4）．

解答 解：（1）已知log_a$\frac{2}{3}$＜1，當(dāng)a＞1時(shí)，恒成立，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，已知log_a$\frac{2}{3}$＜log_aa，可得a＜$\frac{2}{3}$，故（1）錯(cuò)誤；
（2）y=2^x與y=$（\frac{1}{2}）^{x}$=2^-x的圖象關(guān)于y軸對稱，故（2）正確；
（3）∵函數(shù)f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域是R，
∴mx²+mx+1＞0在R上恒成立，
①當(dāng)m=0時(shí)，有1＞0在R上恒成立，故符合條件；
②當(dāng)m≠0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜4，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0≤m＜4，故（3）正確；
（4）∵函數(shù)y=ln（-x²+x）的定義域?yàn)椋?，1），
令z=-x²+x，則原函數(shù)可以寫為y=lnz，
∵y=lnz為增函數(shù)，
∴原函數(shù)的增區(qū)間即是函數(shù)z=-x²+x，x∈（0，1）的增區(qū)間．
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$]．
∴函數(shù)y=ln（-x²+x）的遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$]，故（4）錯(cuò)誤．
∴正確的有：（2）（3）．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評 本題考查了命題的真假判斷，考查了對數(shù)函數(shù)參數(shù)的討論問題，圖象的對稱問題，二次函數(shù)恒大于零問題以及復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題，屬于中檔題．