Question

已知函數f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e=2.71828…）．
（Ⅰ）設曲線y=f（x）在x=1處的切線為l，到點（1，0）的距離為

2

2

，求a的值；
（Ⅱ）若對于任意實數x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=-1時，是否存在實數x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）切點坐標（1，e+a），切線斜率k=f′（1）=e+a，由點斜式可得切線方程，再由點到直線的距離公式可得a的方程，解出即可；
（Ⅱ）易判斷x=0時不等式恒成立；當x＞0時分離出參數a，化為函數的最值即可，利用導數可求得函數的最值，注意兩種情況下參數的范圍要求交集；
（Ⅲ）曲線C的方程為y=e^xlnx-e^x+x，令M（x）=e^xlnx-e^x+x，問題即為a=-1時，是否存在實數x₀∈[1，e]，M′（x）=0有實數解，構造函數利用導數可判斷M′（x）＞0，于是得到結論；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，f（1）=e+a．
y=f（x）在x=1處的切線斜率為f′（1）=e+a，
∴切線l的方程為y-（e+a）=（e+a）（x-1），即（e+a）x-y=0．
又點（1，0）到切線l的距離為

2

2

，∴

|(e+a)•1+(-1)•0+0|

(e+a)2+(-1)2

=

2

2

，
解之得，a=-e+1或a=-e-1．
（Ⅱ）∵x≥0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
若x=0，f（0）=1＞0恒成立；
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

，在x＞0上恒成立，
設Q（x）=-

ex

x

，則Q′（x）=-

xex-ex

x2

=

(1-x)•ex

x2

，
當x∈（0，1）時，Q′（x）＞0，則Q（x）在（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，+∞0時，Q′（x）＜0，則Q（x）在（1，+∞）上單調遞減；
∴當x=1時，Q（x）取得最大值，Q（1）=-e，
∴a的取值范圍為（-e，+∞）．
（Ⅲ）依題意，曲線C的方程為y=e^xlnx-e^x+x，
令M（x）=e^xlnx-e^x+x，
∴M′（x）=

ex

x

+exlnx-ex+1=（

1

x

+lnx-1）•e^x+1，
設h（x）=

1

x

+lnx-1，則h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
當x∈[1，e]時，h′（x）≥0，故h（x）在[1，e]上單調增函數，
因此h（x）在[1，e]上的最小值為h（1）=0，即h（x）=

1

x

+lnx-1≥h（1）=0，
又x₀∈[1，e]時，e^x＞0，

1

x

+lnx-1≥0，
∴M′（x）=（

1

x

+lnx-1）•e^x+1＞0，
曲線y=e^xlnx-e^x+x在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程M′（x）=0有實數解，但是M′（x）＞0，M′（x）=0沒有實數解，
故不存在實數x₀∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

點評：該題考查導數的幾何意義、函數恒成立、函數的零點等知識，考查學生運算求解能力、推理論證能力與問題的轉化能力，綜合性較強，難度較大．