Question

（本小題滿分12分）如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形， ，

（1）求證：CD;  

（2）求AD與SB所成角的余弦值;

（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

，

【解析】

解：（I）是矩形，      --------------1分

 又 -------------2分

                   -------------3分

 CD            -------------4分

   （II）由，及（I）結(jié)論可知DA、DC、DS

兩兩互相垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

                --------------5分

                            --------------6分

                     --------------7分

       AD與SB所成的角的余弦為                 --------------8分

   （III）設(shè)面SBD的一個法向量為

                --------------9分

    又

∴設(shè)面DAB的一個法向量為

所以所求的二面角的余弦為                                            …………11分

解法二

   （I）同解法一

   （II）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，

∴要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角              …………5分

在中，由（1）知，SD⊥面ABCD。

中，

CD是CS在面ABCD內(nèi)的射http://www.7caiedu.cn/影，且

                             http://www.7caiedu.cn/            --------------6分

              ----------8分

       從而SB與AD的成的角的余弦為 

   （III）

面ABCD．  

BD為面SDB與面ABCD的交線．

     SDB                         

于F，連接EF，       

從而得：

為二面角A—SB—D的平面角            ------10分

       在矩形ABCD中，對角線            

中，

由（2）知在，

而中，SA=a，且AB=2a，

為等腰直角三角形且為直角，

所以所求的二面角的余弦為                  --------------12分