Question

已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|2x-1|＜|m-1|+|m-2|有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：令f（x）=|x+1|+|2x-1|，分當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，當(dāng)-1＜x＜

1

2

時(shí)，當(dāng)x≤-1時(shí)，求得函數(shù)的值域，得到最小值，再對(duì)當(dāng)m≥2時(shí)，當(dāng)1＜m＜2時(shí)，當(dāng)m≤1時(shí)，求出m的范圍，最后再求并集即可．

解答： 解：令f（x）=|x+1|+|2x-1|，
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f（x）=x+1+2x-1=3x，且f（x）≥

3

2

；
當(dāng)-1＜x＜

1

2

時(shí)，f（x）=x+1+1-2x=2-x，且

3

2

＜f（x）＜3；
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=-x-1+1-2x=-3x，且f（x）≥3．
則有f（x）的值域?yàn)椋篬

3

2

，+∞）．
由于關(guān)于x的不等式|x+1|+|2x-1|＜|m-1|+|m-2|有解，
則|m-1|+|m-2|＞

3

2

，
當(dāng)m≥2時(shí)，m-1+m-2＞

3

2

，解得m＞

9

4

，即有m＞

9

4

；
當(dāng)1＜m＜2時(shí)，m-1+2-m＞

3

2

，則m無(wú)解；
當(dāng)m≤1時(shí)，1-m+2-m＞

3

2

，解得m＜

3

4

，即有m＜

3

4

．
綜上可得，m的取值范圍是：（

9

4

，+∞）∪（-∞，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查含絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題，注意分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．