Question

已知△ABC中，

AB

⊥

AC

，|

AB

-

AC

|=2，點M是線段BC（含端點）上的一點，且

AM

•(

AB

+

AC

)=1，則|

AM

|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：兩向量的和或差的模的最值

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，建立直角坐標系．設B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．由|

AB

-

AC

|=|

CB

|=2，可得b²+c²=4．由向量的平行四邊形法則可得：

AB

+

AC

=

AD

，可得

AM

•(

AB

+

AC

)=

AM

•

AD

=（x，y）•（b，c）=bx+cy=1.|

AM

|=

x2+y2

．利用數量積的性質可得（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，可得

x2+y2

≥

1

2

，即|

AM

|≥

1

2

．又

x

b

+

y

c

=1，可得1=（bx+cy）(

x

b

+

y

a

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

a

，于是x²+y²≤1，進而得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．
設B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．
∵|

AB

-

AC

|=|

CB

|=2，
∴b²+c²=4．
∵

AB

+

AC

=

AD

，
∴

AM

•(

AB

+

AC

)=

AM

•

AD

=（x，y）•（b，c）=bx+cy=1．
|

AM

|=

x2+y2

，
∵（x²+y²）（b²+c²）≥（bx+cy）²，
∴4（x²+y²）≥1，
∴

x2+y2

≥

1

2

，即|

AM

|≥

1

2

．
又

x

b

+

y

c

=1，
∴1=（bx+cy）(

x

b

+

y

c

)=x2+y2+

cxy

b

+

bxy

c

，
∵b＞0，c＞0，x≥0，y≥0．
∴x²+y²≤1，即

x2+y2

≤1．（當且僅當x=0或y=0時取等號）．
綜上可知：

1

2

≤|

AM

|≤1．
故答案為：[

1

2

，1]．

點評：本題綜合考查了向量的平行四邊形法則、數量積的運算性質、不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．