Question

8．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+3）-1的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最大值為-3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令對(duì)數(shù)的真數(shù)等于1，求得x、y的值，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線mx+ny=1，利用基本不等式求得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最大值．

解答 解：∵令x+3=1，求得x=-2，y=-1，可得 函數(shù)f（x）=log_a（x+3）-1的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A（-2，-1），
根據(jù)點(diǎn)A在直線mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，可得-2m-n=1，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{-2m-n}{m}$+$\frac{-2m-n}{n}$=-3-$\frac{n}{m}$-$\frac{2m}{n}$=-3-（$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）≤-3-2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{2m}{n}$時(shí)，取等號(hào)，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$ 的最大值為-3-2$\sqrt{2}$，
故答案為：-3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．