Question

已知數(shù)列{a_n}各項均不相等，將數(shù)列從小到大重新排序后相應(yīng)的項數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列稱為數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列，例如：數(shù)列a₁，a₂，a₃滿足a₂＜a₃＜a₁，則排序數(shù)列為2，3，1．
（Ⅰ）寫出數(shù)列2，4，3，1的排序數(shù)列；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列仍為{a_n}，那么是否一定存在一項a_k=k，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)排序數(shù)列的定義即可寫出數(shù)列2，4，3，1的排序數(shù)列；
（Ⅱ）根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行證明：數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列；
（Ⅲ）根據(jù)排序熟練的定義進行判斷．

解答：解：（Ⅰ）排序數(shù)列為4，1，3，2．--------------------------------（3分）
（Ⅱ）證明：充分性：
當(dāng)數(shù)列{a_n}單調(diào)增時，∵a₁＜a₂＜…＜a_n，
∴排序數(shù)列為1，2，3，…，n．
∴排序數(shù)列為等差數(shù)列．----------------------------------（4分）
當(dāng)數(shù)列{a_n}單調(diào)減時，∵a_n＜a_n-1＜…＜a₁，
∴排序數(shù)列為n，n-1，n-2，…，1．
∴排序數(shù)列為等差數(shù)列．
綜上，數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列時，排序數(shù)列為等差數(shù)列．---------（5分）
必要性：
∵排序數(shù)列為等差數(shù)列
∴排序數(shù)列為1，2，3，…，n或n，n-1，n-2，…，1．--------------（7分）
∴a₁＜a₂＜…＜a_n或a_n＜a_n-1＜…＜a₁
∴數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列．-------------------------------------（8分）
（Ⅲ）∵數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列仍為{a_n}
∴數(shù)列{a_n}是1，2，3，…，n的某一個排序，----------------（9分）
假設(shè)不存在一項a_k=k，即a_i=j，（i≠j，i=1，2，3，…，j=1，2，3，…）
則在各項從小到大排列后a_i排在第j位--------------------（11分）
∴排序數(shù)列{a_n}中a_j=i，∴n為偶數(shù)（12分）．
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，一定存在一項a_k=k，
當(dāng)n為偶數(shù)時，不一定存在一項a_k=k．-------------------（13分）

點評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，以及充分條件和必要條件的證明，綜合性較強．