Question

13．已知函數(shù)$g（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}+（{1-b}）x$．
（1）若g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線(xiàn)方程為8x-2y-3=0，求a，b的值；
（2）若b=a+1，x₁，x₂是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，試比較-4與g（x₁）+g（x₂）的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出a＞4，且x₁+x₂=a，x₁x₂=a，令$f（x）=xlnx-\frac{1}{2}{x^2}-x（{x＞4}）$，則f'（x）=lnx+1-x-1=lnx-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 （1）根據(jù)題意可求得切點(diǎn)$（{1，\frac{5}{2}}）$，由題意可得，$g'（x）=\frac{a}{x}+x+（{1-b}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}g（1）=\frac{5}{2}\\ g'（1）=4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}+1-b=\frac{5}{2}\\ a+1+1-b=4\end{array}\right.$，解得a=1，b=-1．…（3分）
（2）證明：∵b=a+1，∴$g（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax$，則$g'（x）=\frac{a}{x}+x-a$．
根據(jù)題意可得x²-ax+a=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的根x₁，x₂．
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}＞0\\{a^2}-4a＞0\\ a＞0\end{array}\right.$，解得a＞4，且x₁+x₂=a，x₁x₂=a．…（5分）
∴$g（{x_1}）+g（{x_2}）=aln（{{x_1}{x_2}}）+\frac{1}{2}（{{x_1}^2+{x_2}^2}）-a（{{x_1}+{x_2}}）=alna-\frac{1}{2}{a^2}-a$．…（6分）
令$f（x）=xlnx-\frac{1}{2}{x^2}-x（{x＞4}）$，則f'（x）=lnx+1-x-1=lnx-x，
令h（x）=lnx-x，則當(dāng)x＞4時(shí)，$h'（x）=\frac{1}{x}-1＜0$，
∴h（x）在（4，+∞）上為減函數(shù)，即h（x）＜h（4）=ln4-4＜0，f'（x）＜0，
∴f（x）在（4，+∞）上為減函數(shù)，即f（x）＜f（4）=8lnx-12，
∴g（x₁）+g（x₂）＜8ln2-12，…（10分）
又∵$8ln2-12-（{-4}）=8ln2-8=8（{ln2-1}）=8ln\frac{2}{e}$，$ln\frac{2}{e}＜0$，
∴$8ln\frac{2}{e}＜0$，即$8ln\frac{2}{e}-12＜-4$，
∴g（x₁）+g（x₂）＜-4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及代數(shù)式的大小比較，是一道綜合題．