Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，則在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log₂（x+2）=0的零點的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性可以得到函數(shù)是周期函數(shù)，然后將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），
∴f（x-2）=f（x+2）=f（2-x），
即f（x）=f（x+4），即函數(shù)的周期是4．
當(dāng)x∈[0，2]時，-x∈[-2，0]，
此時f（-x）=（

1

2

）^-x-1=f（x），
即f（x）=（

1

2

）^-x-1，x∈[0，2]．
由f（x）-log₂（x+2）=0得：
f（x）=log₂（x+2），
分別作出函數(shù)f（x）和y=log₂（x+2）圖象如圖：
則由圖象可知兩個圖象的交點個數(shù)為4個，
即方程f（x）-log₂（x+2）=0的零點的個數(shù)是4個．
故選：D．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．