Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過(guò)原點(diǎn)O作傾斜角為

π

3

的直線n，交l于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求

PM

•

PF

的最小值；
（Ⅲ）過(guò)l上的動(dòng)點(diǎn)Q向⊙M作切線，切點(diǎn)為S，T，求證：直線ST恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)

p

2

=1=OA•cos60°可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程；
（II）先表示出

PM

•

PF

然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線上將y消去，求關(guān)于x 的二次函數(shù)的最小值即可；
（III）以點(diǎn)Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，設(shè)點(diǎn)Q（-1，t），根據(jù)QS²=QM²-4=t²+5，求出直線ST的方程，使直線與t無(wú)關(guān)，可求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="ak7uzq4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x（2分）
設(shè)⊙M的半徑為r，則r=

OB

2

•

1

cos60°

=2，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）（x≥0），則

PM

•

PF

=(2-x，-y)(1-x，-y)=x²-3x+2+y²=x²+x+2（8分）
所以當(dāng)x=0時(shí)，

PM

•

PF

有最小值為2（10分）
（Ⅲ）以點(diǎn)Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦（11分）
設(shè)點(diǎn)Q（-1，t），則QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程為（x+1）²+（y-t）²=t²+5（13分）
從而直線ST的方程為3x-ty-2=0（*）（14分）
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x= 2 3 y=0

一定是方程（*）的解，所以直線ST恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

3

，0)（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數(shù)量積的最值和直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題，有一定的難度．