Question

11．下列說法：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[-1，a]）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=-2；
②f（x）=$\sqrt{2016-{x^2}}$+$\sqrt{{x^2}-2016}$既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③若f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，當x∈（0，2）時，f（x）=2^x，則f（2015）=2；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數(shù)．其中所有正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 逐項判斷正誤即可求解．①由函數(shù)奇偶性可得定義域關(guān)于原點對稱，得a，由對稱軸為y軸可得b；②先求定義域，可得f（x）=0，易得結(jié)果；③由題意可得函數(shù)為周期函數(shù)，易得③錯誤；④利用賦值法，可得f（-x）=-f（x），故④正確．

解答 解：①由函數(shù)在區(qū)間[-1，a]上為偶函數(shù)可得：a=1，所以f（x）=x²+（2+b）x+2，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以對稱軸$x=-\frac{2+b}{2}=0$，故b=-2，故①正確；
②易知函數(shù)的定義域為$\{-12\sqrt{14}，12\sqrt{14}\}$，此時f（x）=0，既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)，故②正確；
③由$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，可得$f（x+4）=f（x+2+2）=\frac{1}{f（x+2）}=f（x）$，故函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，所以f（2015）=f（3），
又f（3）=f（1+2）=$\frac{1}{f（1）}$=$\frac{1}{2}$，即$f（2015）=\frac{1}{2}$，故③錯誤；
④令x=y=1，可得：f（1）=0，令x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1），故f（-1）=0，
令y=-1可得：f（-x）=xf（-1）-f（x）=-f（x），
故函數(shù)為奇函數(shù)，所以④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查函數(shù)性質(zhì)．正確判斷函數(shù)性質(zhì)，掌握判斷方法是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．