Question

14．關(guān)于x的方程cos²x+sinx+a=0在0＜x≤$\frac{π}{2}$上有解，則a的取值范圍是[-$\frac{5}{4}$，-1]．

Answer 1

分析 令sinx=t，則t∈（0，1]，故-t²+t+1+a=0在（0，1]上有解，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得a的取值范圍．

解答 解：關(guān)于x的方程cos²x+sinx+a=0在0＜x≤$\frac{π}{2}$上有解，即關(guān)于x的方程1-sin²+sinx+a=0在0＜x≤$\frac{π}{2}$上有解．
令sinx=t，則t∈（0，1]，故-t²+t+1+a=0在（0，1]上有解，
∴△=1+4（1+a）≥0，t₁+t₂=1，t₁•t₂=-1-a∈[0，1]，求得-$\frac{5}{4}$≤a≤-1，
故答案為：$[-\frac{5}{4}，-1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．