精英家教網(wǎng)有一展館形狀是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，DE把展館分成上下兩部分面積比為1：2（如圖所示），其中D在AB上，E在AC上．
（1）若D是AB中點(diǎn)，求AE的值；
（2）設(shè)AD=x，ED=y．（ⅰ）求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；（ⅱ）若DE是消防水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？若DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)給以說(shuō)明．
分析：（1）根據(jù)題意可得S△ADE=
1
3
S△ABC，再由△ABC是等邊三角形且D是AB中點(diǎn)，利用三角形的面積公式建立關(guān)于AD、AE的等式，解之可得AE=
4
3
；
（2）（i）在△ADE中，根據(jù)余弦定理建立y2關(guān)于x2的等式，兩邊開(kāi)方可得用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，再由AE≤2算出
2
3
≤x≤2，可得此函數(shù)的定義域；
（ⅱ）若DE是消防水管，則根據(jù)基本不等式加以計(jì)算，可得當(dāng)AE=
2
3
3
時(shí)消防水管路線最短為
2
3
3
；若DE是參觀線路，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明，可得函數(shù)y=
x2+
16
9x2
-
4
3
在區(qū)間[
2
3
，
2
3
3
]上為減函數(shù)，在區(qū)間[
2
3
3
，2]上為增函數(shù)，由此可得當(dāng)x=
2
3
或x=2時(shí)DE最長(zhǎng)，進(jìn)而得到此時(shí)D、E兩點(diǎn)的位置．
解答：解：（1）根據(jù)題意，可得S△ADE=
1
3
S△ABC=
1
3
•
1
2
•22•sin60°=
3
3
，
∵S△ADE=
1
2
AD•AE•sin60°，∴AD•AE=
4
3
，
又∵D是AB中點(diǎn)，可得AD=1，
∴AD•AE=AE=
4
3
，即AE的值為
4
3
；
（2）∵AD•AE=
4
3
，∴AE=
4
3AD
=
4
3x
，
又∵AE≤2，∴0＜
4
3x
≤2，解得x≥
2
3
，可得
2
3
≤x≤2．
△ADE中，根據(jù)余弦定理，
可得y2=DE2=AD2+AE2-2AD•AE•cos60°=x2+
16
9x2
-
4
3

∴y=
x2+
16
9x2
-
4
3
，x∈[
2
3
，2]
①若DE是消防水管，則y=
x2+
16
9x2
-
4
3
≥
2•
x2•
16
9x2
-
4
3
=
2
3
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)x2=
4
3
，即x=
2
3
3
，等號(hào)成立．
此時(shí)AE=
2
3
3
，故DE∥BC，且消防水管路線最短為DE=
2
3
3
；
②若DE是參觀線路，令x2=t，t∈[
4
9
，4]，y=
t+
16
9t
-
4
3
，設(shè)f(t)=t+
16
9t
，
可以證明f（t）在[
4
9
，
4
3
]是減函數(shù)：
設(shè)
4
9
≤t1＜t2≤
4
3
，則f(t1)-f(t2)=(t1-t2)+
16
9
(
1
t1
-
1
t2
)=(t1-t2)•
(t1t2-
16
9
)
t1t2
，
∵
4
9
≤t1＜t2≤
4
3
，可得t1-t2＜0，t1t2＜
16
9
，
∴f（t1）-f（t2）＞0，得f（t1）＞f（t2），
∴f（t）在[
4
9
，
4
3
]是減函數(shù)，同理可證f（t）在[
4
3
，4]是增函數(shù)．
因此，f（t）的最大值為f(
4
9
)、f(4)二者中較大的值，
∵f(
4
9
)=f(4)=
40
9
，∴ymax=
40
9
-
4
3
=
2
7
3
，
此時(shí)x=
2
3
或x=2．當(dāng)x=
2
3
時(shí)，AE=2；當(dāng)x=2時(shí)，AE=
2
3
．
綜上所述，當(dāng)D為AB的靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)且E與C重合；或E為靠近A的AC的一個(gè)三等分點(diǎn)且D與B重合時(shí)，
參觀線路DE最長(zhǎng)，最長(zhǎng)路線為
2
7
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求消防水管路線的最小值與參觀路線的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、利用基本不等式求最值和三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．
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