Question

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，m) (m>0)，且與直線(xiàn)y＝－m相切，圓C被x軸截得弦長(zhǎng)的最小值為1，記該圓的圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線(xiàn)E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線(xiàn)C與曲線(xiàn)E的一個(gè)公共點(diǎn)，使它們?cè)谠擖c(diǎn)處有相同的切線(xiàn)？若存在，求出切線(xiàn)方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）x²＝2y；（Ⅱ）存在題設(shè)的公共點(diǎn)B，其坐標(biāo)為(±2，4)，公切線(xiàn)方程為y＝2(x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)定義法確定軌跡為拋物線(xiàn)，然后借助圓C被x軸截得弦長(zhǎng)的最小值為1求解參數(shù)m的值；（Ⅱ）假設(shè)存在題設(shè)的公共點(diǎn)B(b， b²)．利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程的斜率建立等量關(guān)系，求解b的值進(jìn)行論證.
試題解析：（Ⅰ）依題意，曲線(xiàn)E是以(0，m)為焦點(diǎn)，以y＝－m為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．
曲線(xiàn)E的方程為x²＝4my．                                     2分
設(shè)動(dòng)圓圓心為A(a，)，則圓C方程為(x－a)²＋(y－)²＝(＋m)²，
令y＝0，得(x－a)²＝＋m²．
當(dāng)a＝0時(shí)，圓C被x軸截得弦長(zhǎng)取得最小值2m，于是m＝，
故曲線(xiàn)E的方程為x²＝2y．                                        5分
（Ⅱ）假設(shè)存在題設(shè)的公共點(diǎn)B(b， b²)．
圓C方程為(x－a)²＋(y－a²)²＝(a²＋)²，
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式，并整理，得(b－a)²[1＋ (a＋b)²]＝ (a²＋1)²．① 7分
對(duì)y＝x²求導(dǎo)，得y¢＝x，則曲線(xiàn)E在點(diǎn)B處的切線(xiàn)斜率為b．
又直線(xiàn)AB的斜率k＝＝ (a＋b)．
由圓切線(xiàn)的性質(zhì)，有 (a＋b)b＝－1．                        ②  8分
由①和②得b²(b²－8)＝0．
顯然b≠0，則b＝±2．                                        9分
所以存在題設(shè)的公共點(diǎn)B，其坐標(biāo)為(±2，4)，公切線(xiàn)方程為
y＝2 (x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．     12分