Question

設(shè)圓x²+y²-4x-5=0的弦AB的中點(diǎn)P（3，-1），則直線AB的方程為

x+y-4=0

過原點(diǎn)的直線與圓x²+y²-2x-4y-4=0相交所得的弦長(zhǎng)為4，則該直線的方程為

（-2±

2

）x-y=0

．

Answer 1

分析：第一問：先把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，得到圓心O坐標(biāo)和半徑，根據(jù)垂徑定理可知OP與AB垂直，求出OP的斜率，即可得到哦AB的斜率，寫出AB的方程即可．
第二問：用配方法將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)直線方程為y=kx，求出圓心到直線的距離，利用直線和圓相交所成的直角三角形知識(shí)求解即可．

解答：解：①由x²+y²-4x-5=0得：（x-2）²+y²=9，得到圓心O（2，0），所以求出直線OP的斜率為

1-0

3-2

=1，
根據(jù)垂徑定理可知OP⊥AB
所以直線AB的斜率為-1，過P（3，1），所以直線AB的方程為y-1=-1（x-3）即x+y-4=0
②設(shè)直線方程為y=kx，
圓x²+y²-2x-4y-4=0即（x-1）²+（y-2）²=9
即圓心坐標(biāo)為（1，2），半徑為r=3
因?yàn)橄议L(zhǎng)為4，圓心到直線的距離，

|k-2|

k2+1

=

32-22

，
解得k=-2+

2

或k=-2-

2

，
所以該直線的方程為：y=（-2±

2

）x
故答案為：x+y-4=0；（-2±

2

）x-y=0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用直線與圓相交的性質(zhì)，直線和圓的相交弦長(zhǎng)問題，會(huì)根據(jù)兩直線垂直得到斜率的乘積為-1，會(huì)寫出直線的一般式方程．注意弦長(zhǎng)和半徑的關(guān)系．