Question

若函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

1. A.
   （-∞，+∞）
2. B.
   （-∞，1）
3. C.
   （-1，+∞）
4. D.
   （-1，1）

Answer 1

D
分析：要使函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn)，只需利用函數(shù)的最大值或最小值與3進(jìn)行比較，由于實(shí)數(shù)a的值不確定，故要分類討論．
解答：求一階導(dǎo)數(shù)可得f'（x）=3x²-3a²，兩個(gè)極值點(diǎn)分別在x=a、x=-a，代入函數(shù)，得f（a）=-2a³+1，f（-a）=2a³+1，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＞3或f（-a）＜3，得出a＜1，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）＜3或f（-a）＞3，得出a＞-1，
當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立；
則答案為：-1＜a＜1，
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力．