Question

1．已知點(diǎn)A是拋物線M：y²=2px（p＞0）與圓$C：{x^2}+{（y-2\sqrt{2}）^2}={a^2}$在第一象限的公共點(diǎn)，且點(diǎn)A到拋物線M焦點(diǎn)F的距離等于a．若拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，則p為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用拋物線的定義可得A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為CF的中點(diǎn)，設(shè)出A，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得p，由拋物線的定義可得P．

解答 解：圓C：x²+（y-4）²=a²的圓心C（0，2$\sqrt{2}$），半徑為a，|AC|+|AF|=2a，
由拋物線M上一動(dòng)點(diǎn)M到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，
由拋物線的定義可得動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)與到點(diǎn)C的距離之和的最小值為2a，
點(diǎn)M在A處取最小值，可得A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為CF的中點(diǎn)
由D（0，2$\sqrt{2}$），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），可得A（$\frac{p}{4}$，$\sqrt{2}$），
代入拋物線的方程可得2=2p×$\frac{p}{4}$，解得p=2．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用拋物線的定義和三點(diǎn)共線和最小，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．