Question

記定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值與最小值分別為M，m．又記h（p）=M-m．
（Ⅰ）當(dāng)0≤p≤2時(shí)，求M、m（用p，q表示），并證明h（p）≥1；
（Ⅱ）寫(xiě)出h（p）的解析式（不必寫(xiě)出求解過(guò)程）；
（Ⅲ）在所有形如題設(shè)的函數(shù)f（x）中，求出這樣的f（x），使得|f（x）|的最大值為最�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)每件，又f（x）圖象開(kāi)口向上，得出最大值與最小值，從而求得h（p）并證明h（p）≥1；
（Ⅱ）對(duì)字母p進(jìn)行分類(lèi)討論后寫(xiě)出出h（p）的解析式即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（p）的解析式，結(jié)合M-m≥1及取得最值的條件得出，p=0，M=1+q，m=q．最后結(jié)合由M=-m得1+q=-q求得q，最后寫(xiě)出所求函數(shù)式即可．
解答：解：（Ⅰ），又f（x）圖象開(kāi)口向上，
∴
∴（4分）
（Ⅱ）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，總有，當(dāng)且僅當(dāng)M=-m時(shí)取”=”；
又，，當(dāng)且僅當(dāng)p=0時(shí)取“=”，
∴當(dāng)時(shí)的f（x）符合條件．
此時(shí)，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴
即所求函數(shù)為：f（x）=．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、函數(shù)的最值及其幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．