Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ為實數，n為正整數．
（Ⅰ）對任意實數λ，證明數列{a_n}不是等比數列；
（Ⅱ）試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅲ）設0＜a＜b，S_n為數列{b_n}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）這種證明數列不是等比數列的問題實際上不好表述，我們可以選擇反證法來證明，假設存在推出矛盾．
（2）用數列a_n構造一個新數列，我們寫出新數列的第n+1項和第n項之間的關系，發(fā)現λ的取值影響數列的性質，所以要對λ進行討論．
（3）根據前面的運算寫出數列的前n項和，把不等式寫出來觀察不等式的特點，構造新函數，根據函數的最值進行驗證，注意n的奇偶情況要分類討論．

解答：解：（Ⅰ）證明：假設存在一個實數λ，使{a_n}是等比數列，則有a²₂=a₁a₃，即(

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λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比數列．
（Ⅱ）解：因為b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）
=

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n
又b₁=-（λ+18），所以
當λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此時{b_n}不是等比數列：
當λ≠-18時，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

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3

（n∈N⁺）．
故當λ≠-18時，數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

2

3

為公比的等比數列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，于是可得
S_n=-

n

i=1

i4=

1

5

n4+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
要使a＜S_n＜b對任意正整數n成立，
即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得

a

1-(- 2 3 )n

＜-

3

5

(λ+18)＜

b

1-(- 2 3 )n

令f(n)=1-(-

2

3

)n，則①
當n為正奇數時，1＜f（n）≤

5

3

；當n為正偶數時，

5

9

≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值為f（1）=

5

3

，f（n）的最小值為f（2）=

5

9

，．
于是，由①式得

5

9

a＜-

3

5

（λ+18）＜

3

5

b?-b-18＜λ＜-3a-18．
當a＜b≤3a時，由-b-18≥=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；
當b＞3a存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）

點評：這道題目的難度要高于高考題的難度，若函數題是一套卷的壓軸題，可以出到這個難度，否則本題偏難，本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力．