Question

已知在正項數(shù)列{a_n}中，S_n表示數(shù)列{a_n}前n項和且S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n+

1

4

，n∈N₊，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

4Sn-1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（I） 求a_n，S_n；
（Ⅱ）是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的正整數(shù)n均有T_n＞

t

36

總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：

分析：（Ⅰ）由條件再寫一式，兩式相減，從而數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出a_n，S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4Sn-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，由此能求出t=11符合題意．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n+

1

4

，∴當(dāng)n=1時，S1=a1=

1

4

a12+

1

2

a1+

1

4

得a1=1，…（1分）
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=(

1

4

an2+

1

2

an+

1

4

)-(

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1+

1

4

)
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0…（3分）
∵數(shù)列{a_n}各項為正，
∴a_n+a_n-1＞0…（4分）
∴a_n-a_n-1=2…（5分）
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列
∴a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1．…（6分）
∴S_n=

n[1+(2n-1)]

2

=n²…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4Sn-1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）  …（8分）
于是T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

…（10分）
易知數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列，故T₁=

1

3

是最小值，…（12分）
所以只需

1

3

＞

t

36

，即t＜12，因此存在t=11符合題意．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的合理運用，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．