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精英家教網如圖△ABC，D是∠BAC的平分線
（Ⅰ）用正弦定理證明：
AB
AC
=
BD
DC
；
（Ⅱ）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的長．
分析：（Ⅰ）設∠ADB=α，∠BAD=β則在△ABD中根據正弦定理
AB
BD
 =
sinα
sinβ
，同時在△ACD中根據正弦定理
AC
DC
=
sin∠ADC
sin∠DCA
由根據∠BAD=∠DAC，∠DCA=180°-α，進而得出
sin∠ADC
BD∠DCA
=
sinα
sinβ
，進而證明
AB
AC
=
BD
DC

（Ⅱ）先由余弦定理在△ABC求出BC，再根據AB=2，AC=1，
AB
AC
=
BD
DC
求出BD和DC，在△ABD中由余弦定理得求出AD
解答：（Ⅰ）證明：設∠ADB=α，∠BAD=β，則∠ADC=180°-α，∠CAD=β
由正弦定理得，在△ABD中，
AB
sinα
=
BD
sinβ
①
在△ACD中，
AC
sin(180°-α)
=
DC
sinβ
，②
又sinα=sin（180°-α）③
由①②③得：
AB
AC
=
BD
DC
．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7.20090209
故BC=
7

設BD=x，DC=y，則
x+y=
7
④
由（Ⅰ）得
x
y
=2，即x=2y⑤
聯(lián)立④⑤解得x=
2
7
3
，y=
7
3

故cosB=
AB2+BC2-AC2
2AB•BC
=
5
2
7

在△ABD中，由余弦定理得
AD2=AB2+BD2=2AB•BDcos∠ABD
=4+（
2
7
3
）2-2×2×
2
7
3
×
5
2
7

=
4
9

所以AD=
2
3
．
點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．在解三角形問題的時候往往通過這兩個定理進行角和邊的互化，故應靈活運用．
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