（2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1內(nèi)有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓？若存在，求其內(nèi)切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．
分析：（1）設出點的坐標，利用|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2，即可證得
AC
•
BD
=0，從而AC⊥BD；
（2）（i）根據(jù)AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，所以四邊形ABCD是菱形，它存在內(nèi)切圓，設直線AB方程為：y=kx+m，利用圓心到直線的距離，可得r2=
m2
k2+1
；聯(lián)立　
y=kx+m
x2
2
+y2=1
，利用OA⊥OB，可得m2=
2
3
(1+k2)，從而可求內(nèi)切圓的方程；
（ii）求出弦AB的長|AB|=
3
2
m2
•
16(
3
2
m2-1)m2
[1+2(
3
2
m2-1)]2
-8
(m2-1)
1+2(
3
2
m2-1)
=
12m2(2m2-1)
(3m2-1)2
，令3m2-1=t，則m2=
t+1
3
，所以|AB|=
12•
t+1
3
(2
t+1
3
-1)
t2
=
4
3
(-
1
t2
+
1
t
+2)
=
4
3
[-(
1
t2
-
1
2
)]2+
9
4
根據(jù)m2≥
2
3
，即可求得弦AB長的最小值．
解答：（1）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
由|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2知(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x3-x4)2+(y3-y4)2=(x2-x3)2+(y2-y3)2+(x1-x4)2+(y1-y4)2
展開整理得：x1x2+y1y2+x3x4+y3y4=x2x3+y2y3+x1x4+y1y4
即x1（x2-x4）+x3（x4-x2）+y1（y2-y4）+y3（y4-y2）=0
∴（x1-x3）（x2-x4）+（y1-y3）（y2-y4）=0
即
AC
•
BD
=0，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是菱形，它存在內(nèi)切圓，圓心為O，設半徑為r，直線AB方程為：y=kx+m
則r=
|m|
k2+1
，即r2=
m2
k2+1
①
聯(lián)立　
y=kx+m
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0
∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)＞0，x1+x2=
-4mk
1+2k2
，x1•x2=
2m2-2
1+2k2

由（1）知OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0
∴x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
∴
2m2-2
1+2k2
+k2•
2m2-2
1+2k2
+km
-4km
1+2k2
+m2=0
∴2m2-2+2m2k2-2k2-4k2m2+m2+2m2k2=0
∴m2=
2
3
(1+k2)②
②代入①有：r2=
2
3

∴存在內(nèi)切圓，其方程為：x2+y2=
2
3
…．（9分）
容易驗證，當k不存在時，上述結論仍成立．
（ii）|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
1+k2
•
16k2m2
(1+2k2)2
-4
2m2-2
1+2k2

∵m2=
2
3
(1+k2)k2=
3
2
m2-1≥0，m2≥
2
3

∴|AB|=
3
2
m2
•
16(
3
2
m2-1)m2
[1+2(
3
2
m2-1)]2
-8
(m2-1)
1+2(
3
2
m2-1)
=
12m2(2m2-1)
(3m2-1)2

令3m2-1=t，則m2=
t+1
3

∴|AB|=
12•
t+1
3
(2
t+1
3
-1)
t2
=
4
3
(-
1
t2
+
1
t
+2)
=
4
3
[-(
1
t2
-
1
2
)]2+
9
4

∵m2≥
2
3
，∴
t+1
3
≥
2
3
，故t≥1，∴0＜
1
t
≤1
當
1
t
=1時，|AB|min=
4
3
+2
=
2
6
3
，此時m2=
2
3
，k2=0
容易驗證，當k不存在時，|AB|=
2
6
3
…．（13分）
點評：本題以橢圓方程為載體，考查向量知識的運用，考查橢圓與圓的綜合，考查圓中的弦長的求解，挖掘隱含，熟練計算是關鍵．
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b
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與
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-3
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-
1
3
-
1
3
．

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5
3
2
5
3
2
．

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x2
a2
- 
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（3，+∞）
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．

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