Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象與h（x）的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的$x∈（{\frac{1}{2}，+∞}）$，都有函數(shù)y=f（x）+$\frac{m}{x}$的圖象在$g（x）={\frac{ex}{x}^{\;}}$的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（$\sqrt{e}+\frac{1}{2}$ln2≈1.99）

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）與h（x）無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程$\frac{lnx}{x}=a$在（0，+∞）無(wú)解，令$t（x）=\frac{lnx}{x}$，求解函數(shù)的極大值，然后推出數(shù)a的取值范圍．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題意，則不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$對(duì)$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．即m＜e^x-xlnx對(duì)$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．令r（x）=e^x-xlnx，求出導(dǎo)函數(shù)r'（x）=e^x-lnx-1，令φ（x）=e^x-lnx-1，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$φ'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$利用核對(duì)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題意，且最大整數(shù)m的值為1．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）與h（x）無(wú)公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程$\frac{lnx}{x}=a$在（0，+∞）無(wú)解…（2分）
令$t（x）=\frac{lnx}{x}$，則$t'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令t'（x）=0，得x=e

x	（0，e）	e	（e，+∞）
t'（x）	+	0	-
t（x）	增	極大值	減

因?yàn)閤=e是唯一的極大值點(diǎn)，故${t_{max}}=t（e）=\frac{1}{e}$…（4分）
故要使方程$\frac{lnx}{x}=a$在（0，+∞）無(wú)解，
當(dāng)且僅當(dāng)$a＞\frac{1}{e}$故實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（\frac{1}{e}，+∞）$…（5分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題意，則不等式$lnx+\frac{m}{x}＜\frac{e^x}{x}$對(duì)$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．
即m＜e^x-xlnx對(duì)$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$恒成立．…（6分）
令r（x）=e^x-xlnx，則r'（x）=e^x-lnx-1，
令φ（x）=e^x-lnx-1，則$φ'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，…（7分）
∵φ'（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，$φ'（\frac{1}{2}）={e^{\frac{1}{2}}}-2＜0$，φ'（1）=e-1＞0，
且φ'（x）的圖象在$（\frac{1}{2}，1）$上連續(xù)，
∴存在${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得φ'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，則x₀=-lnx₀，…（9分）
∴當(dāng)$x∈（\frac{1}{2}，{x_0}）$時(shí)，φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，φ（x）單調(diào)遞增，
則φ（x）取到最小值$φ（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-1={x_0}+\frac{1}{x_0}-1$$≥2\sqrt{{x_0}•\frac{1}{x_0}}-1=1＞0$，
∴r'（x）＞0，即r（x）在區(qū)間$（\frac{1}{2}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增．…（11分）$m≤r（\frac{1}{2}）={e^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}ln\frac{1}{2}={e^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}ln2=1.99525$，
∴存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題意，且最大整數(shù)m的值為1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．