【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,,左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,點(diǎn),為線段的中點(diǎn).

)求橢圓的方程.

)若過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),已知直線相交于點(diǎn),試判斷點(diǎn)是否在定直線上?若是,請(qǐng)求出定直線的方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)點(diǎn)在定直線上.

【解析】

試題分析: (Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方法為待定系數(shù)法,即根據(jù)條件建立關(guān)于的兩個(gè)獨(dú)立條件,再與聯(lián)立方程組,解出的值,(Ⅱ)先根據(jù)特殊直線或橢圓幾何性質(zhì)確定定直線,再根據(jù)條件證明點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.由題意設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)橫坐標(biāo).根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理得兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系(用直線斜率表示),并代入點(diǎn)橫坐標(biāo)表達(dá)式,化簡(jiǎn)可得為定值.

試題解析: (Ⅰ)設(shè)點(diǎn),由題意可知:,即

又因?yàn)闄E圓的離心率,即

聯(lián)立方程①②可得:,則

所以橢圓的方程為

(Ⅱ)方法一:根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性猜測(cè)點(diǎn)是與軸平行的直線上.

假設(shè)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),直線的方程為,此時(shí)點(diǎn) ,

則聯(lián)立直線和直線可得點(diǎn)

據(jù)此猜想點(diǎn)在直線上,下面對(duì)猜想給予證明:

設(shè),聯(lián)立方程可得:

由韋達(dá)定理可得, (*)

因?yàn)橹本,

聯(lián)立兩直線方程得(其中點(diǎn)的橫坐標(biāo))即證:

,即證

將(*)代入上式可得

此式明顯成立,原命題得證.所以點(diǎn)在定直線上上.

方法二:設(shè),兩兩不等,

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以

整理得:

三點(diǎn)共線,有:

三點(diǎn)共線,有: ② 將①與②兩式相除得:

,

代入得:

解得(舍去)或,所以點(diǎn)在定直線上.

方法三:顯然軸不垂直,設(shè)的方程為,.

.

設(shè),兩兩不等,

,

三點(diǎn)共線,有:

三點(diǎn)共線,有:

①與②兩式相除得:

解得(舍去)或,所以點(diǎn)在定直線上.

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