Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線在處的切線恰與曲線相切，求a的值；

（2）不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；

（3）已知，若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或或.

【解析】

（1）求出切線方程后，再與二次函數(shù)聯(lián)立，利用判別式為0，即可求得的值；

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，再利用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，即可得答案；

（3）由題意得，，對(duì)分和兩種情況討論，從而求得的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>，所以，又切點(diǎn)為，

因此曲線在處的切線為，

將與聯(lián)立，消去y得：，

由題意知，

解得.

（2）因?yàn)?/span>，所以，

即，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

因此，

所以，即.

（3），，

①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以，

當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>，

又，

所以在上存在唯一的零點(diǎn)，

因此在上無(wú)零點(diǎn)，所以即，解得

又，所以.

當(dāng)，即時(shí)，有唯一的零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以無(wú)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)，無(wú)零點(diǎn).

設(shè)，則，于是，

又，

所以在上存在唯一的零點(diǎn)，即在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知，或或.