Question

如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A₁DE
（1）設(shè)M為線段A₁C的中點，求證：BM∥平面A₁DE；
（2）當平面A₁DE⊥平面BCD時，求直線CD與平面A₁CE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取CD中點N，并連接MN，BN，容易證明平面BMN∥平面A₁DE，所以便得到BM∥平面A₁DE；
（2）容易說明CE⊥平面A₁DE，所以DA₁⊥CE，又DA₁⊥A₁E，所以DA₁⊥平面A₁CE，所以∠A₁CD便是直線CD與平面A₁CE所成角，所以該角的正弦值為

A1D

CD

=

2

4

=

1

2

．

解答： 解：（1）證明：如圖，取CD中點N，連接MN，BN，∵M為A₁C的中點，∴MN∥A₁D，A₁D?平面A₁DE，∴MN∥平面A₁DE；
∵E為AB的中點，四邊形ABCD為矩形，∴DN∥BE，且DN=BE，∴四邊形BEDN為平行四邊形；
∴BN∥ED，ED?平面A₁DE，∴BN∥平面A₁DE，MN∩BN=N；
∴平面BMN∥平面A₁DE，BM?平面BMN，∴BM∥平面A₁DE；
（2）根據(jù)已知條件知：△ADE，和△BCN都是等腰直角三角形，∠AED=∠BEC=45°，∴∠CED=90°即CE⊥DE；
∵平面A₁DE⊥平面BCD，且平面A₁DE∩平面BCD=DE，CE?平面BCD；
∴CE⊥平面A₁DE，DA₁?平面A₁DE，∴CE⊥DA₁，即DA₁⊥CE，又∠EAD=∠DA₁E=90°，即DA₁⊥A₁E，A₁E∩CE=E；
∴DA₁⊥平面A₁CE；
∴∠DCA₁即是直線CD與平面A₁CE所成的角，∴sin∠DCA₁=

DA1

CD

=

2

4

=

1

2

；
即直線CD與平面A₁CE所成角的正弦值為

1

2

．

點評：考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，及面面平行的性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，線面角的定義及求法．