Question

如圖，點(diǎn)為圓形紙片內(nèi)不同于圓心的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)折痕交線段于點(diǎn).現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圓：,記點(diǎn)的軌跡為曲線.

⑴證明曲線是橢圓，并寫(xiě)出當(dāng)時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線過(guò)點(diǎn)和橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，若橢圓的離心率，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

解：⑴依題意得，直線m為線段AM的中垂線，∴NA=NM

   ∴NC+NA=NC+NM=CM=2a>2。

∴N點(diǎn)的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為2a，焦距為2的橢圓。    ……………4分

   當(dāng)a=2時(shí)，2a=4，焦距2C=2 ∴b²=3

∴橢圓方程為。 ……………………………………………………………6分

⑵設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由⑴知：b²=a²−1

又C(−1，0)，B(0，b)，

∴直線l的方程為，即bx−y+b=0         …………………………8分

設(shè)Q(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)A(1，0)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)。

∴，消去x，得：       …………………………10分

∵離心率e∈[，]， ∴≤e²≤，  即≤≤，  ∴≤a²≤4  ……………12分

∴≤b²+1≤4，即≤b≤。

∴≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)取等號(hào)。        ……………………14分

又當(dāng)b=時(shí)，y=；當(dāng)b=時(shí)，y=，∴≤y≤2。

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍時(shí)[，2]。          ………………………………16分