已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1過(guò)左焦點(diǎn)的直線l的傾角為45°與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)
（1）求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求△ABF2的周長(zhǎng)與面積．
分析：（1）先由橢圓方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可得中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求出F2到直線距離，利用三角形的面積公式，可求面積，利用橢圓的定義可求周長(zhǎng)．
解答：解：（1）由
x2
3
+
y2
2
=1知，a=
3
，b=
2

∴c=
a2-b2
=1
∴F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）
∴L的方程為y=x+1
代入橢圓方程可得5x2+6x-3=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)M（x0，y0）則x1+x2=-
6
5
，x1x2=-
3
5

∴x0=
x1+x2
2
=-
3
5
，y0=
y1+y2
2
=
x1+1+x2+1
2
=
x1+x2
2
+1=
2
5

∴中點(diǎn)坐標(biāo)為M（-
3
5
，
2
5
）；
（2）F2到直線距離d=
|Ax0+By0+C|
A2+B2
=
2
2
=
2

∴S△ABC=
1
2
|AB|d=
1
2
×
8
3
5
×
2
=
4
6
5

 三角形周長(zhǎng)l=4a=4
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積與周長(zhǎng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
3
+
y2
4
=1的焦點(diǎn)F與拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（a，b），B（-a，0）（ab≠0，b2≠4a），M是拋物線C上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)為M1，M2．求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要M1，M2存在且M1≠M(fèi)2）直線M1M2恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓與雙曲線
x23
-y2=1有共同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（2，3），求雙曲線的漸近線及橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的焦點(diǎn)F1（0，-1），F(xiàn)2（0，1），P為橢圓上一點(diǎn)，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，則橢圓的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓
x2
3
+y2=1上，且BC邊經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)A是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則△ABC的周長(zhǎng)是
4
3
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C以雙曲線
x23
-y2=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（M，N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過(guò)橢圓C左頂點(diǎn)A，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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