Question

11．（1）求焦點(diǎn)在x軸上，$c=\sqrt{6}$且經(jīng)過點(diǎn)（-5，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知雙曲線上兩點(diǎn)P₁，P₂的坐標(biāo)分別為$（3，-4\sqrt{2}），（\frac{9}{4}，5）$，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，求雙曲線的方程；
（2）設(shè)雙曲線方程為：mx²-ny²=1，（mn＞0），結(jié)合點(diǎn)$（3，-4\sqrt{2}），（\frac{9}{4}，5）$在雙曲線上，可得關(guān)于m與n的方程組，求出m與n的值即可得到答案．

解答 解：（1）由題意設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6-{a}^{2}}=1$，
把點(diǎn)（-5，2）代入可得$\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{6-{a}^{2}}=1$，
解得a²=5，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)所求雙曲線方程為：mx²-ny²=1，（mn＞0），
∵點(diǎn)$（3，-4\sqrt{2}），（\frac{9}{4}，5）$在雙曲線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m-32n=1}\\{\frac{81}{16}m-25n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{9}}\\{n=-\frac{1}{16}}\end{array}\right.$，
故所求雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查利用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．