Question

3．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x-2，
①當(dāng)函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值；
②在①的條件下，當(dāng)e^-1＜x＜e時(shí)，g（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2=（x²-2x）lnx-x²+2，求出f′（x），則k=f′（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式可得切線的方程．
（2）①令g（x）=f（x）-x-2=0，則（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，即a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，確定h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，可得h（x）_max=h（1）=1，即可求a的值；
②當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，若e^-1＜x＜e，g（x）≥m，只需g（x）_min≥m．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2=（x²-2x）lnx-x²+2，
∴f′（x）=（2x-2）lnx+（x²-2x）$\frac{1}{x}$-2x，
k=f′（1）=0+（1-2）-2=-3，
f（1）=1，
切線的方程為y-1=-3（x-1），
∴切線的方程為3x+y-4=0；
（2）①令g（x）=f（x）-x-2=0
則（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，即a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，
則h′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{2}}$
令t（x）=1-x-2lnx，則t′（x）=$\frac{-x-2}{2}$
∵x＞0，∴t′（x）＜0
∴t（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又∵t（1）=h′（1）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∴當(dāng)函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a=1；
②當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-1＜x＜e，g（x）≥m，只需g（x）_min≥m，
∴g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0得x=1或x=${e}^{-\frac{3}{2}}$
又∵e^-1＜x＜e，
∴函數(shù)g（x）在（e^-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，e）上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（1）=0，
∴m≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．