在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（0，-1），B點在直線y=-3上，M點滿足
MB
∥
OA
，
MA
•
AB
=
MB
•
BA
，M點的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值．
分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入
MB
∥
OA
，
MA
•
AB
=
MB
•
BA
，即可求得M點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0）為C上的點，求導(dǎo)，寫出C在P點處的切線方程，利用點到直線的距離公式即可求得O點到l距離，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）．
所
MA
=（-x，-1-y），
MB
=（0，-3-y），
AB
=（x，-2）．
再由題意可知（
MA
+
MB
）•
AB
=0，即（-x，-4-2y）•（x，-2）=0．
所以曲線C的方程式為y=
1
4
x2-2．

（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0）為曲線C：y=
1
4
x2-2上一點，因為y′=
1
2
x，所以l的斜率為
1
2
x0，
因此直線l的方程為y-y0=
1
2
x0（x-x0），即x0x-2y+2y0-x02=0．
則o點到l的距離d=
|2y0-x02|
4+x02
．又y0=
1
4
x02-2，
所以d=
1
2
x02+4
4+x02
=
1
2
(
x02+4
+
4
4+x02
)≥2，
所以x02=0時取等號，所以O(shè)點到l距離的最小值為2．
點評：此題是個中檔題．考查向量與解析幾何的交匯點命題及代入法求軌跡方程，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點到直線的距離公式，綜合性強，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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